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作者簡介：溫羨嶠（1937-），男，山西文水人，研究員，大學，主要從事導彈武器系統總體研究。
通信地址：100854北京142 信箱30分箱電話：(010) 68389378
溫羨嶠1，高雁翎2
(1.中國航天科工集團公司 二院二部,北京100854；2.中國航天科工集團公司 二院208 所,北京100854）

摘要：在彈道導彈攻防對抗仿真研究中，彈道導彈作為攻擊方，其彈道的精確性對導彈攻防對抗仿真的最終結果有著重要的影響。地球旋轉是影響彈道導彈彈道精度的重要因素，通過運用簡化公式對地球旋轉對彈道導彈精度的影響進行了計算。研究表明，對射程大于500 km的彈道導彈在預測彈道及落點時應考慮地球旋轉的影響，否則將會帶來較大的誤差。
關鍵詞：彈道導彈；地球旋轉；彈道性能
中圖分類號：TJ7613文獻標識碼：A文章編號：1009086X（2006）01001105

Influence of the earth rotation on the performance
of the ballistic missile
WEN Xianqiao1，GAO Yanling2
(1.The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854, China;
2.The 208th Institute of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854 , China)

Abstract:As the attack side in the area of attack and defense countermeasure simulation of ballistic missile, accuracy of ballistic missile′s trajectory significantly affects the finally result of attack and defense countermeasure. The earth rotation is one of the important factors which affect the accuracy of ballistic missile trajectory. The accuracy of ballistic missile trajectory influenced by the earth rotation is calculated and analyzed with simplification formulary. The result shows that the earth rotation should be calculated by forecasting the trajectory when the range of ballistic missile is longer than 500 kilometers, otherwise the error will be increased.
Key words:Ballistic missile； Earth rotation； Ballistic performance

1引言
在研究彈道導彈攻防對抗中，通常把地球旋轉、地球扁率、大氣密度計算不準等因素對攻防對抗中彈道的影響，特別是對命中點計算中的影響忽略不計。對于小射程彈道導彈如射程在500 km之內時，這樣做是可以的，但對于大射程的彈道導彈這樣做就會帶來較大的誤差。為對此問題有一個深入的了解，我們對地球旋轉對彈道主要性能影響進行分析，以供研究者參考。
2符號說明及基本假設
2.1符號說明
t：導彈飛行時間；
vk：在慣性坐標系內導彈的停火點速度；
v′k：在地球坐標系內導彈的停火點速度；
：在慣性坐標系內速度向量與地心水平面的夾角；
′ ：在地球坐標系內速度向量與地心水平面的夾角；
rk：停火點至地心的距離；
β ：射程角；
ψ ：在慣性坐標系內停火點處的射擊方位角；
ψ′ ：在地球坐標系內停火點處的射擊方位角；
φr ：大地緯度；
Δλ ：大地經度差；
R：地球半徑，R≈6 371 110 m；
ω ：地球旋轉角速度；
f：牛頓引力常數；
m：地球質量；
α ：地球扁率（橢率）；
k：停火點角標；
c：彈著點角標；
 ：真空段角標。
現代防御技術·導彈技術溫羨嶠，高雁翎：地球旋轉對彈道性能影響分析現代防御技術2006年第34卷第1期2.2基本假設
（1） 地球自轉是勻速的，且旋轉角速度ω=7292 1×10-5s-1；
（2） 地球是半徑為R的圓形球體，重力場是有心的牛頓力場；
（3） 地球的基本水準面是指圓形球體的表面，彈著點的位置均在球面上確定；
（4） 忽略了地球扁率的影響，并把大地緯度看作地心緯度。大地緯度與地心緯度之最大差值μ可以這樣確定：μ＝2sin（2φr），α＝1〖〗2983，當φr＝45°時，μmax ≈115′；
（5） 地球旋轉對主動段影響可以忽略；
（6） 在計算彈道再入段時空氣阻力忽略不計。
3地球旋轉對落點射程的影響
3.1坐標系選取
（1） 慣性坐標系。原點位于地球中心，x軸取在赤道平面上，y軸通過北極，z軸通過停火點對應的子午線，構成右手系。三坐標軸分別指向三個恒星（如圖1所示）。顯然，如認為地球不繞太陽公轉，則坐標系是靜止的。
圖1慣性坐標系
Fig1Inertial coordinate system
（2） 地球坐標系。原點O1在發射點，O1x1切于發射點地球表面，并指向瞄準方向，O1y1軸自發射點垂直向上，O1z1軸按右手坐標系得到，即垂直于O1 x1y1平面，指向瞄準方向的右方（如圖2所示）［1，2］。
圖2地球坐標系
Fig2Earth coordinate system
3.2計算公式
由彈道計算知，在地球坐標系中的停火點速度v′k，當考慮到地球旋轉作用時，在停火點必須增加一個向東的速度分量：wrkcos φrk，φrk為發射點緯度。
故導彈的絕對速度為vk＝v′k＋wrkcos  φrk（1）導彈在停火點相對于地球坐標系與慣性坐標系之間的關系為v′ksin ′k＝vksin k，
v′kcos ′kcos φ′＝vkcos kcos φ，
v′kcos ′ksin φ′＋ωrkcos φrk＝vkcos ksin φ經代數運算，可求得在慣性坐標系中停火點的射擊方位角為ψ＝arctantan φ′＋ωrkcos φrk〖〗v′kcos ′kcos ψ′（2）在慣性坐標系中的彈道參數為k＝arctantan ′kcos ψ〖〗cos ψ′，（3）
vk＝v′ksin ′k〖〗sin k（4）如認為地球的質量都集中在地球的中心，按假設2，導彈遵循橢圓彈道運動，有關文獻已給出了彈道被動段的總射程角β′c(如圖3所示)和總飛行時間tc,即β′c＝β1＋β2，（5）
β1＝arccos1〖〗ε1－rkv2kcos2k〖〗k，
β2＝arccos1〖〗ε1－rk〖〗Rrkv2kcos2k〖〗k，式中：ε＝1－1〖〗k22k〖〗rk－v2k（rkvkcos k）2，
k＝fM＝398 620 km3/s2
tc＝2πkzk〖〗zk－zkv2k3/2（1－A1－A2），（6）式中：Ai＝1－ε2〖〗2π－εsin βi〖〗1－εcos βi＋
2〖〗1－ε2arctan1－ε〖〗1＋εctanβi〖〗2，
i=1,2.圖3彈道總射程角
Fig3Chief range angle of trajectory
由于地球是繞南北軸旋轉的，因此地球旋轉并不影響彈著點的緯度。采用球面三角公式，求得彈著點的緯度：
φrc＝arcsin（cos β′csin φrk＋sin β′ccos φrkcos ψ）（7）
當發射點和彈著點位于北半球時，φrk,φrc均取正值。
在慣性系統中彈著點與停火點的經度差為Δλ＝arcctan－sin φrkctan ψ＋cos φrkctan β′c〖〗sin ψ（8）由于目標位置的運動，在tc時間內停火點至彈著點相對于地球的大地經度變化為Δλ′＝Δλ－ωtc，（9）如果導彈向東發射，那么，Δλ總是正的。
現根據停火點和實際命中點的位置，確定地球旋轉作用下的射程。為此，采用慣性坐標系，并寫出停火點和命中點的坐標，如圖4所示。
圖4停火點與命中點慣性坐標
Fig4Inertial coordinate of turn off point
and impact point
從圖4得：rk＝rk（jsin φrk＋kcos φrk），
R＝R（icos φrcsin Δλ′＋jsin φrc＋kcos φrccos Δλ′），式中：i，j，k分別表示慣性坐標系中坐標軸Ox,Oy,Oz的單位矢量。
根據點積的定義有cos β″c＝rk·R〖〗rkR＝sin φrksin φrc＋
cos φrkcos φrccos Δλ′，所以，β″c＝arccos（sin φrksin φrc＋cos φrkcos φrccos Δλ′）， 則L＝Rβ″c（10）將式（10）所求與未考慮地球旋轉作用的射程比較，就完全能確定彈著點對預定命中目標的射程偏差，計算結果如表1所示。
表1彈著點與預定命中目標的射程偏差
Table 1The range error between the impact point
and forecast impact point km發射方向〖〗標準值（ω＝0）〖〗計算值（ω≠0）〖〗差值ΔL西
東〖〗468.149 0〖〗464.276 2〖〗-3.873472.955 4〖〗4.806西
東〖〗1 116.206 0〖〗1 096.927 0〖〗-19.2841 134.927 0〖〗18.646東〖〗2 506.340 0〖〗2 583.524 0〖〗77.200
由表1可見，對于大射程情況下，由于地球旋轉帶來的射程差值將成倍增加，應當認真對待。
這里需特別強調的是：①向東或向西發射時；②相對于地球表面垂直發射時，上述討論所采用的公式（2）、（3）、（4）是不適用的。因為，這時ψ′＝±90°或′k＝90° 。此時，若考慮地球旋轉對射程影響時，要以下列公式代替式（2）、（3）、（4）。ψ′＝±90°（向東取正號），（11）
k＝arctanv′k〖〗ωrkcos φrk，（12）
vk＝v ′k±（ωrkcos φrk）2（13）然后再利用上述討論的公式（5）～（10）計算即可得結果。
4地球旋轉對射擊方位角的影響
由前知，ωrkcosφrk的作用不僅改變了導彈飛行速度的大小，同時也改變了速度的方向，結果該導彈運動所在的平面必將改變。確定彈著點對射擊平面的偏離，可以采用兩種方法來計算，其一是采用確定實際彈著點位置的方法，其二是考慮地球自轉在停火點給予導彈一個側向速度分量并考慮到在飛行時間內靶場目標位置的變化來確定的方法。本文采用第一種方法。
前面公式（7）和（9）給出了地球旋轉作用下的實際彈著點的緯度φrc和經度差Δλ′，用球面三角公式來決定實際射擊方位角為ψ1＝arcctan－sin φrkctan Δλ′＋cos φrktan φrc〖〗sin Δλ′（14）同理，還可以求出來考慮地球旋轉作用的射擊方位角為ψ2＝arcctansin φrkctanΔλc＋cos φrktan φ′rc〖〗sin Δλc，（15）式中：φ′rc＝arcsin（cos βcsin φrk＋sin βccos φrkcos ψ′），
Δλc＝arcctan（－sin φrkctan ψ′＋cos φrkctan βc〖〗sin ψ′），βc為未考慮地球旋轉的射程角；Δλc為不動球體上目標與停火點之經度差。
因此，由于地球旋轉作用引起的射擊方位角偏差為Δψ＝ψ1－ψ2，（16）目前位置對預定命中點的側向偏差為Δz＝Rβctan Δψ（17）求得結果如表2所示。
表2地球旋轉對射擊方位角的影響
Table 2The effect of firing azimuth by the earth rotation
射程L/km〖〗計算結果（φr0＝45°，ψ0＝90°）ΔL /m〖〗Δz/m〖〗Δψ/（′）506.6〖〗4 806〖〗8 455〖〗57.38986.9〖〗16 822〖〗20 184〖〗70.302 600〖〗77 200〖〗92 243〖〗120.607 300〖〗878 560〖〗96 088〖〗449.91可見，隨著射程的增大，其射程誤差、側向偏差、射擊方位角偏差迅速增大，對于洲際彈道導彈影響會更大，射程偏差增至878.56 km，而側向偏差增至96 km。
5初始條件的換算
考慮地球旋轉對導彈飛行彈道影響時，導彈在停火點位置相對于地球表面的緯度φrk和射擊方位角ψ′作為已知條件，然而實際上已知的只是在指定靶場位置上的特定條件，即只知道發射點的大地緯度和射擊方位角。為此，需要建立在停火點相對于地球表面的緯度和射擊方位角與發射點之間的關系。
由球面三角形邊的余弦公式，得出停火點相對于地球表面的緯度表示式：φrk＝arcsin（cos δksin φr0＋sin δkcos φr0cos ψ0），（18）式中：φr0為發射點的大地緯度；ψ0為發射點的射擊方位角；δk為主動段射程角，δk＝arcsinxk〖〗R＋yk ，式中：xk為地球坐標系的坐標
利用球面三角形的余切公式，得停火點相對于地球的射擊方位角為ψ′＝π－arctansin δktan φ0〖〗sin ψ0－cos δkctan ψ0（19）使用上式時，取值時必須注意反三角函數的多值性。
6地球旋轉對射程影響
由于彈道式導彈大部分在真空中飛行，主動段和再入段飛行時間較短，通常主動段一般持續3～4 min，再入段持續1～2 min，而中段則持續可達20 min之多。因此，對主動段、再入段地球旋轉影響較小。另外，通過分析已知地球旋轉對主動段和被動段影響的效應存在補償作用，如當我們向西射擊時，主動段總是消除角的最優偏差值，使ΔL＞0，而被動段由于角的增大向西射擊時，總是ΔL＜0，顯然，其綜合效應起相互抵消作用。
基于上述原因，近似認為地球旋轉對彈道主動段和再入段射程的影響之和基本為0，因此可忽略對再入段的影響部分的補償，加上第5條基本假設，這樣地球旋轉只是影響彈道真空段射程［3］。
此時公式（5）換算成橢圓軌道真空段射程角的計算：β＝2arctanνktan k〖〗1－νk＋tan2 k，（20）式中：νk＝v2krk〖〗g0R2
公式（6）換算成導彈在橢圓軌道上所走過時間的表達式：t＝2〖〗（2－νk）3〖〗2R〖〗g0（ψ＋esin ψ），（21）式中：ψ＝arccos1－νk〖〗e，
e＝1－νk（2－νk）cos2 k
求出地球旋轉對橢圓軌道真空段射程的影響，通過式（20）計算得的結果見表3。
表3地球旋轉對橢圓軌道真空段射程的影響
Table 3The influence of vacuum segment range
on ellipse orbit by earth rotation
T/s〖〗方向〖〗計算值/m〖〗標準值/m〖〗差值ΔL/km102
114
117〖〗西〖〗415 503.9
868 668.1
1 020 474.2〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗-4.798
-14.868
-19.036102
114
117〖〗東〖〗425 975.4
870 359.1
1 062 234.8〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗5.674
16.820
22.724
可見，其射程差值，方向無論向西還是向東，均與公式（5）計算所得結果在量值上相當。
7結束語
本文研究了地球旋轉對彈道性能參數的影響，特別是大射程下，地球旋轉影響更為嚴重，應當引起防御彈道導彈方面專家的高度重視，否則，將會對防御方帶來無可挽回的后果。